通常の運用では、Webサーバーとメールサーバーが同じケースが多いと思いますが、負荷軽減などの理由で別々のサーバーを使用する事があります。
このような時は、ドメインのネームサーバーを切り替えただけでは正常に動作しません。
ネームサーバーの切り替えと合わせて、DNSレコード設定が必要になります。具体的には、
「MXレコードのデータ名（内容）」を、「メールサーバーで使用する名前」に変更する
「メールサーバーで使用する名前」のAレコードに、「メールで使用するサーバーのIP」を設定する
事が必要になります。
MXレコードのMXは、「Mail eXchanger record」の略であり、そのドメインが使用するメールサーバーを制御させるものとなります。そのMXレコードに対して、Aレコードを作成し、メールサーバーのIPを指定してあげることで、メールサーバーを別のサーバーに切り分けることができます。
サーバーによって、対応方法が若干異なりますが、上記を理解しておけば、比較的スムーズに作業が行えるものと思います。